Large parameter asymptotic analysis for homogeneous normalized random measures with independent increments

Abstract Homogeneous normalized random measures with independent increments represent a broad class of Bayesian nonparametric priors and thus are widely used. In this article, we obtain the strong law of large numbers, the central limit theorem (CLT), and the functional central limit theorem (fCLT) of such measures when the concentration parameter approaches infinity. To quantify the convergence rate of the CLT we derive, we also study the Berry–Esseen bound, which turns out to be of the form . As an application of the CLT, we present the functional delta method, which can be employed to obtain the limit of the quantile process of these random measures. As an illustration of the CLTs, we demonstrate the convergence numerically for the Dirichlet processes and the normalized inverse Gaussian processes with various choices of the concentration parameters. Résumé Les mesures aléatoires normalisées homogènes à accroissements indépendants représentent une vaste classe d'a priori bayésiens non paramétriques et sont donc largement utilisées. Dans cet article, nous obtenons la loi forte des grands nombres, le théorème central limite et le théorème central limite fonctionnel de telles mesures lorsque le paramètre de concentration tend vers l'infini. Pour quantifier la vitesse de convergence du théorème central limite que nous établissons, nous étudions également la borne de Berry–Esseen, qui s'avère être de l'ordre de . À titre d'application du théorème central limite, nous présentons la méthode delta fonctionnelle, qui peut être utilisée pour obtenir la limite du processus des quantiles de ces mesures aléatoires. À titre d'illustration des théorèmes centraux limites, nous montrons numériquement la convergence pour les processus de Dirichlet et les processus inverse‐gaussiens normalisés, avec divers choix de paramètres de concentration.