Регулярные полупростые многообразия Хессенберга - это алгебраические подмногообразия в многообразии флагов $\mathrm {Flag}(\mathbb C^n)$, естественно возникающие на пересечении геометрии, теории представлений и комбинаторики. Недавние результаты Абэ-Хоригути-Масуды-Мураи-Сато и Абэ-ДеДьe-Галетто-Харады позволили связать многочлены объема регулярных полупростых многообразий Хессенберга с многочленом объема многогранника Гельфанда-Цетлина $\mathrm {GZ}(\lambda )$ при $\lambda =(\lambda _1,\lambda _2,…,\lambda _n)$. Основные результаты работы состоят в выводе явной формулы для многочленов объема регулярных полупростых многообразий Хессенберга в терминах объемов определенных граней многогранника Гельфанда-Цетлина, а также в получении формулы для многочлена объема в переменных $\alpha _i := \lambda _i-\lambda _{i+1}$, коэффициенты которой имеют комбинаторный смысл и, как следствие, неотрицательны. При этом используется и обобщается техника работ Андерсона-Тимочко, Кириченко-Смирнова-Тиморина и Постникова. В качестве приложения полученных результатов подробно исследован частный случай - пермутоэдрическое многообразие, известное также как торическое многообразие, соответствующее набору камер Вейля. Для него построено явное разбиение пермутоэдра (образа отображения моментов для пермутоэдрического многообразия) на комбинаторные $(n-1)$-кубы и получена алгебро-геометрическая интерпретация этого разбиения, состоящая в выражении класса когомологий пермутоэдрического многообразия в многообразии $\mathrm {Flag}(\mathbb C^n)$ в виде суммы классов когомологий определенного набора многообразий Ричардсона.
