An empirical saddlepoint approximation based method for smoothing survival functions under right censoring

Abstract The Kaplan–Meier (KM) estimator is ubiquitously used for estimating survival functions, but it provides only a discrete approximation at the observation times and does not deliver a proper distribution if the largest observation is censored. Using KM as a starting point, we devise an empirical saddlepoint approximation‐based method for producing a smooth survival function that is unencumbered by choice of tuning parameters. The procedure inverts the moment generating function (MGF) defined through a Riemann–Stieltjes integral with respect to an underlying mixed probability measure consisting of the discrete KM mass function weights and an absolutely continuous exponential right‐tail completion. Uniform consistency, and weak and strong convergence results are established for the resulting MGF and its derivatives, thus validating their usage as inputs into the saddlepoint routines. Relevant asymptotic results are also derived for the density and distribution function estimates. The performance of the resulting survival approximations is examined in simulation studies, which demonstrate a favourable comparison with the log spline method (Kooperberg & Stone, 1992) in small sample settings. For smoothing survival functions we argue that the methodology has no immediate competitors in its class, and we illustrate its application on several real data sets. The Canadian Journal of Statistics 47: 238–261; 2019 © 2019 Statistical Society of Canada Résumé L'estimateur de Kaplan‐Meier (KM) est omniprésent lorsqu'il est question d'estimer des fonctions de survie, mais il offre seulement une approximation discrète des temps d'observation et ne répond pas aux caractéristiques d'une distribution lorsque la plus grande observation est censurée. En utilisant KM comme point de départ, les auteurs élaborent une méthode empirique basée sur une approximation en point de selle afin de produire une fonction de survie lisse qui n'est pas alourdie par le choix de paramètres de réglage. Leur solution consiste à inverser la fonctione génératrice des moments (FGM) définie par une intégrale de Riemann‐Stieltjes évaluée par rapport à une mesure de probabilité sous‐jacente composée d'un mélange de la fonction de masse discrète de KM et d'une complétion exponentielle absolument continue pour l'aile de droite. Les auteurs établissent des résultats de convergence faible et forte, ainsi que la convergence uniforme de la FGM et de ses dérivées, validant ainsi leur utilisation pour les calculs de point de selle. Ils obtiennent également des résultats asymptotiques pertinents pour les estimés de la densité et de la fonction de répartition. Ils présentent des études de simulation qui montrent que la performance des approximations de survie proposées se comparent favorablement à la méthode du logspline de Kooperberg et Stone (1992) dans le cadre de petits échantillons. Finalement, les auteurs soutiennent que leur méthode n'a aucun concurrent immédiat pour lisser des fonctions de survie, et ils l'illustrent en l'appliquant à de nombreux jeux de données réelles. La revue canadienne de statistique 47: 238–261; 2019 © 2019 Société statistique du Canada